Using Random Butterfly Transformations to Avoid Pivoting in Sparse Direct Methods

We consider the solution of sparse linear systems using direct methods via LU factorization. Unless the matrix is positive definite, numerical pivoting is usually needed to ensure stability, which is costly to implement especially in the sparse case. The Random Butterfly Transformations (RBT) technique provides an alternative to pivoting and is easily parallelizable. The RBT transforms the original matrix into another one that can be factorized without pivoting with probability one. This approach has been successful for dense matrices; in this work, we investigate the sparse case. In particular, we address the issue of fill-in in the transformed system. Key-words: Sparse direct methods, LU factorization, randomized algorithms. ∗ Inria and Université Paris-Sud, Orsay, France ([email protected]). † Lawrence Berkeley National Laboratory, Berkeley, CA, USA ([email protected]). ‡ Lawrence Berkeley National Laboratory, Berkeley, CA, USA ([email protected]). Utiliser les Random Butterfly Transformations pour éviter de pivoter dans les méthodes directes creuses Résumé : On considère la solution de systèmes linéaires creux en utilisant des méthodes directes de factorisation LU. Sauf si la matrice est définie positive, le pivotage numérique est en général nécessaire pour assurer la stabilité, ce qui est coûteux à implémenter en particulier pour le cas creux. La technique de Random Butterfly Transformations (RBT) fournit une alternative au pivotage et est facilement parallélisable. Le RBT transforme la matrice originale en une matrice qui peut être factorisée sans pivoter avec une probabilité de 1. Cette approche s’est avérée efficace pour les matrices denses. Dans ce travail nous étudions le cas creux. En particulier nous abordons le problème lié au fill-in dans le système transformé. Mots-clés : Méthodes directes creuses, factorisation LU, algorithmes randomisées. Using Random Butterfly Transformations to Avoid Pivoting in Sparse Direct Methods 3